تحلیل خمش در تیرهای نامتقارن — به همراه مثال

در مباحث قبلی مربوط به تحلیل خمش موجود در تیرها نظیر «طراحی تیر در شرایط بارگذاری خمشی»، «مبانی تحلیل تیرهای کامپوزیتی»، «روش مقطع معادل برای تحلیل تیرهای کامپوزیتی» و «تحلیل تیرهای دارای تقارن مضاعف تحت بارگذاری مورب»، سطح مقطع تیرهای مورد تحلیل را با فرض وجود حداقل یک محور تقارن مورد بررسی قرار دادیم. در این مقاله قصد داریم با حذف محدودیت مذکور، به تحلیل خمش تیرهای بدون محور تقارن یا اصطلاحاً «تیرهای نامتقارن» (Unsymmetric Beams) بپردازیم. تمرکز اصلی ما در مبحث حاضر بر روی تیرهای نامتقارن تحت خمش خالص خواهد بود. در انتها نیز به منظور آشنایی بهتر با نحوه به کارگیری مفاهیم و روابط ارائه شده، به تشریح چند مثال کاربردی خواهیم پرداخت.

مبانی تحلیل تیرهای نامتقارن

برای آشنایی با کلیت شرایط موجود در تحلیل خمش تیرهای نامتقارن، شکل زیر را در نظر بگیرید. این شکل، یک تیر نامتقارن را نمایش می‌دهد که سطح مقطع انتهایی آن در معرض گشتاور خمشی M قرار گرفته است.

در اینجا می‌خواهیم مقدار تنش‌های موجود در این تیر و محل قرارگیری محور خنثی آن را مورد ارزیابی قرار دهیم. متأسفانه در این سطح از تحلیل، هیچ روش مستقیمی برای تعیین پارامترهای مذکور وجود ندارد. از این‌رو، به جای تعیین گشتاور خمشی و سپس محور خنثی، ابتدا یک محور خنثی فرضی را در نظر می‌گیریم و سپس میزان گشتاور خمشی را نسبت به آن می‌سنجیم.

محور خنثی

به منظور شروع تحلیل، دو محور عمود بر هم (مانند محورهای y و z در شکل زیر) را در یک نقطه دلخواه بر روی سطح مقطع تیر در نظر می‌گیریم. محورهای فرضی می‌توانند در هر جهت دلخواهی قرار داشته باشند. با این وجود، به منظور تسهیل فرآیند تحلیل، جهت‌گیری عمودی و افقی را برایشان انتخاب می‌کنیم.

در مرحله بعد، فرض می‌کنیم که تیر به گونه‌ای خم می‌شود که محور خنثی مقطع عرضی آن همان محور z باشد. بر اساس این فرض، تغییر شکل تیر در صفحه xy (صفحه خمش) رخ می‌دهد. تحت این شرایط، رابطه مورد نیاز برای محاسبه تنش نرمال اعمال شده بر المان سطح dA (در فاصله y از محور خنثی) به صورت زیر خواهد بود:

در صورت مثبت بودن انحنا، علامت منفی در پشت رابطه بالا به معنای فشاری بودن تنش اعمال شده بر بخش بالای محور z است. شکل زیر، قواعد علامت‌گذاری انحنا با فرض رخ دادن خمش در صفحه xy را نمایش می‌دهد.

نیروی اعمال شده بر المان سطح dA برابر σ_xdA است. به این ترتیب، برآیند نیروی اعمال شده بر تمام سطح مقطع تیر از انتگرال المان نیرو در محدوده سطح مقطع A به دست می‌آید. از آنجایی که تیر در معرض خمش خالص قرار دارد، برآیند نیرو در محدوده A برابر با صفر می‌شود:

مدول الاستیسیته و انحنا در تمام سطح مقطع‌ها دارای یک مقدار ثابت هستند. از این‌رو:

معادله بالا نشان می‌دهد که محور z (محور خنثی) از مرکز هندسی سطح مقطع (نقطه C) می‌گذرد. اکنون فرض کنید که محور خنثی سطح مقطع در هنگام خمش تیر، محور y و صفحه خمش آن، صفحه xz باشد. بر اساس این فرض، رابطه مورد نیاز براتی تعیین تنش نرمال اعمال شده بر المان سطح dA برابر است با:

شکل زیر، قواعد علامت‌گذاری انحنا با فرض رخ دادن خمش در صفحه xy را نمایش می‌دهد. در صورت مثبت بودن انحنا در صفحه xz، المان dA تحت فشار قرار خواهد داشت. در این حالت باید از یک علامت منفی پشت رابطه بالا استفاده کرد.

برآیند نیرو برای این حالت از رابطه زیر به دست می‌آید:

به این ترتیب داریم:

توجه داشته باشید که در رابطه بالا نیز محور خنثی از مرکز هندسی سطح مقطع عبور می‌کند. بنابراین می‌توان نتیجه گرفت که مبدأ محورهای y و z برای یک تیر نامتقارن باید در مرکز هندسی آن قرار داشته باشد. اکنون برآیند گشتاورهای تنش σ_x را در نظر بگیرید و دوباره فرض کنید که خمش تیر نسبت به محور z رخ می‌دهد. به این ترتیب، گشتاورهای M_z و M_y حول محورهای z و y برابرند با:

I_z: ممان اینرسی سطح مقطع عرضی تیر نسبت به محور z و I_yz: «حاصل‌ضرب اینرسی» (Product of Inertia) نسبت به محورهای y و z

با توجه روابط بالا می‌توان به نتایج زیر دست یافت:

• الف) در صورت عبور محور z از مرکز هندسی مقطع (در یک جهت دلخواه)، این محور به عنوان محور خنثی در نظر گرفته می‌شود اگر و تنها اگر گشتاورهای M_y و M_z حول محورهای y و z اعمال شوند و نسبت آن‌ها مطابق دو رابطه بالا باشد.
• ب) اگر محور z به عنوان محور اصلی در نظر گرفته شود، حاصل‌ضرب اینرسی I_yz برابر با صفر و M_z تنها گشتاور خمشی موجود خواهد بود. به این ترتیب، محور z برابر محور خنثی، محل رخ دادن خمش در صفحه xy و محل اعمال M_z بر روی همان صفحه خواهد بود. در این شرایط، خمش تیر نامتقارن همانند خمش تیر متقارن رخ می‌دهد.

اکنون محور y را به عنوان محور خنثی در نظر می‌گیریم و محاسبات قبلی را بر اساس این فرض تکرار می‌کنیم:

I_y: ممان اینرسی نسبت به محور y

در این حالت نیز مشاهده می‌کنیم که با انتخاب یک جهت‌گیری دلخواه برای محور y (محور خنثی)، گشتاورهای M_y و M_z بر روی تیر اعمال می‌شوند. با این وجود، در صورتی که محور y به عنوان محور اصلی در نظر گرفته شود، M_y تنها گشتاور موجود در تیر و صفحه xz، محل رخ دادن خمش خواهد بود. در این شرایط نیز تیر نامتقارن همانند تیر متقارن رفتار می‌کند. به دلیل عمود بودن محورهای y و z، اگر هر یک از آن‌ها به عنوان محور اصلی در نظر گرفته شود، محور دیگر نیز اصلی خواهد بود. مهم‌ترین نتیجه‌ای که می‌توان از مباحث بالا گرفت، به صورت خلاصه در پاراگراف زیر آورده شده است:

در صورت اعمال خمش خالص بر روی یک تیر نامتقارن، صفحه دربرگیرنده گشتاور خمشی عمود بر صفحه خنثی خواهد بود؛ اگر محورهای y و z، محورهای اصلی گذرنده از مرکز هندسی (محورهای اصلی مرکزی) سطح مقطع تیر بوده و گشتاور خمشی اعمال شده، بر روی یکی از صفحات اصلی (صفحه xy یا xz) قرار داشته باشد.

با کمک این نتیجه می‌توان یک روش مستقیم را برای یافتن تنش‌های موجود در تیرهای نامتقارن (تحت یک گشتاور خمشی اعمال شده در یک راستای دلخواه) توسعه داد.

روند کلی تحلیل تیرهای نامتقارن

در این بخش، یک روند کلی برای تحلیل تیرهای نامتقارنی که تحت گشتاور خمشی M قرار دارند را به شما معرفی می‌کنیم.

سطح مقطع نامتقارن نمایش داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید. برای شروع تحلیل، محل قرارگیری مرکز هندسی سطح مقطع (نقطه C) را تعیین کرده و سپس، محورهای اصلی y و z را بر روی این نقطه مشخص می‌کنیم. در مرحله بعد، مؤلفه‌های گشتاور خمشی M بر روی محورهای اصلی را به دست می‌آوریم.

مؤلفه‌های گشتاور بالا در جهت‌های نمایش داده شده دارای علامت مثبت هستند. مقدار این مؤلفه‌ها از رابطه زیر محاسبه می‌شود:

θ: زاویه بین بردار گشتاور M و محور z

هر یک از مؤلفه‌های گشتاور در یکی از صفحات اصلی اعمال می‌شوند. از این‌رو، صفحات دربرگیرنده این مؤلفه‌ها تحت خمش خالص قرار می‌گیرند. به این ترتیب، با به کارگیری روابط کلی پیچش برای تعیین جداگانه گشتاورهای M_y و M_z و برهم‌نهی تنش‌های خمشی به دست آمده می‌توان تنش‌های حاصل از اعمال گشتاور اصلی M را مورد محاسبه قرار داد. این فرآیند، مشابه فرآیند ارائه شده در مبحث «تحلیل تیرهای دارای تقارن مضاعف تحت بارگذاری مورب» است. برهم‌نهی تنش‌های خمشی به منظور تعیین برآیند تنش در هر نقطه دلخواه به صورت زیر صورت می‌گیرد:

y و z: مختصات نقطه مورد نظر

زاویه β بین محور خنثی و محور z با استفاده از رابطه زیر به دست می‌آید:

این رابطه نشان می‌دهد که زوایای β و θ با هم برابر نیستند. به طور کلی، محور خنثی بر صفحه اعمال کوپل M عمود نیست اما سه استثنا برای این حالت کلی وجود دارد که در مبحث «تحلیل تیرهای دارای تقارن مضاعف تحت بارگذاری مورب» به معرفی آن‌ها پرداختیم. تمرکز اصلی این مقاله بر روی تیرهای نامتقارن معطوف شده است. البته توجه داشته باشید که تیرهای متقارن نیز یکی از حالت‌های خاص تیرهای نامتقارن به شمار می‌روند. بنابراین، نکات ارائه شده در این مقاله برای تیرهای متقارن نیز قابل استفاده هستند. اگر تیری دارای تقارن منفرد باشد، یکی از محورهای اصلی مرکزی سطح مقطع به عنوان محور تقارن در نظر گرفته می‌شود. به این ترتیب، محور اصلی دیگر بر محور تقارن سطح مقطع عمود خواهد بود. در صورت وجود تقارن مضاعف در تیر، محورهای اصلی مرکزی همان محورهای تقارن هستند.

در واقع، مطالب ارائه شده در این مقاله تنها برای حالت خمش خالص کاربرد دارد. در این حالت، هیچ نیروی برشی بر روی مقاطع عرضی تیر اعمال نمی‌شود. در صورت وجود نیروهای برشی، احتمال پیچش تیر حول محور طولی آن افزایش می‌یابد. با این وجود، اگر نیروهای برشی از مرکز برش عبور کنند، پیچشی درون تیر رخ نمی‌دهد.

روشی دیگر برای تحلیل تیرهای نامتقارن

در بخش‌های قبلی، به معرفی تحلیل تیر نامتقارن با استفاده از تعیین موقعیت محورهای اصلی مرکزی سطح مقطع و تجزیه گشتاور خمشی به مؤلفه‌های هم جهت با این محورها پرداختیم. مزیت اصلی روش مذکور، امکان به کارگیری تمام روابط موجود برای محاسبه تنش‌ها و تغییر شکل‌های اعمال شده بر تیر است.

با این وجود، اگر جهت‌گیری محورهای اصلی با استفاده از جداول یا بررسی سطح مقطع امکان‌پذیر نباشد، دشواری روش افزایش می‌یابد. در صورت نیاز به محاسبه جهت‌گیری محورهای اصلی و مقدار ممان‌های اینرسی اصلی، کار با «محورهای غیر اصلی مرکزی» (Nonprincipal Centroidal Axes) که هم‌راستا با اضلاع سطح مقطع هستند، روند تحلیل را ساده‌تر می‌کند (مانند شکل زیر).

به منظور تعمیم معادلات خمش برای محورهای غیر اصلی، سطح مقطع نامتقارن نمایش داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید. با وجود اینکه مبدأ محورهای y و z بر روی مرکز هندسی سطح مقطع قرار دارد، این محورها به عنوان محورهای اصلی به حساب نمی‌آیند. گشتاورهای خمشی M_y و M_z بر روی سطح مقطع اعمال می‌شوند و خمش بر روی صفحات xy و xz رخ می‌دهد. با این وجود، صفحات مذکور جز صفحات اصلی نیستند.

اگر انحنای صفحات xy و xz به ترتیب برابر k_y و k_z باشد، تنش نرمال اعمال شده بر نقطه A برابر است با:

اگر برآیند نیروی محوری اعمال شده بر سطح مقطع در راستای x را برابر صفر قرار دهیم، خواهیم داشت:

این معادله بدون هیچ تغییری قابل استفاده است؛ چراکه مبدأ محورهای فرضی از مرکز هندسی سطح مقطع تیر عبور می‌کند. به این ترتیب، گشتاور M_y برابر با برآیند گشتاور حول محور y است:

به عبارت دیگر:

I_yz: حاصل‌ضرب اینرسی سطح مقطع نسبت به محورهای y و z

به همین ترتیب، رابطه گشتاور حول محور z برابر است با:

به عبارت دیگر:

در صورت حل همزمان معادلات گشتاور حول محور y و z، رابطه تعیین انحنا بر حسب گشتاورهای خمشی به دست می‌آید:

اگر مقادیر M_y و M_z مشخص باشند، با جایگذاری عبارت‌های بالا در رابطه σ_x=-k_yE_y-k_zE_z می توان مقدار تنش نرمال σ_x در هر نقطه دلخواه بر روی یک تیر نامتقارن را تعیین کرد:

معادله بالا، «رابطه تعمیم‌یافته پیچش» (Generalized Flexure Formula) برای تیرهای نامتقارن را نمایش می‌دهد. در این رابطه، مؤلفه‌های گشتاور حول محورهای مرکزی متعامد اعمال می‌شوند و هیچ ضرورتی در اصلی بودن این محورها وجود ندارد. توجه داشته باشید که اگر محورهای y و z، محورهای اصلی مرکزی باشند، رابطه بالا به رابطه σ_x در روش قبلی تبدیل می‌شود؛ چراکه در این حالت، I_yz برای محورهای اصلی برابر با صفر خواهد بود.

اگر رابطه σ_x را برابر با صفر قرار دهیم، زاویه β بین محور z و محور خنثی و در نتیجه، جهت‌گیری محور خنثی nn به دست می‌آید:

به این ترتیب، صفحه رخ دادن خمش بر محور خنثی عمود است.

مثال‌های کاربردی

در این بخش به منظور آشنایی بیشتر و بهتر با نحوه تحلیل خمش در تیرهای نامتقارن، به تشریح دو مثال کاربردی می‌پردازیم.

مثال 1

شکل زیر، سطح مقطع یک ناودانی (با ابعاد C 10 X 15.3) تحت خمش را نمایش می‌دهد. گشتاور خمشی اعمال شده بر این ناودانی برابر M=15kip-in بوده و زاویه اعمال آن نسبت به محور z برابر θ=10° است. با توجه به اطلاعات مسئله، تنش‌های خمشی σ_A و σ_B در نقاط A و B و همچنین مختصات محل قرارگیری محور خنثی را محاسبه کنید.

مشخصات سطح مقطع

مرکز هندسی C بر روی محور تقارن (محور z) و در فاصله c=0.634in از پشت ناودانی قرار دارد*.

محورهای y و z، محورهای اصلی مرکزی با ممان‌های اینرسی زیر هستند*:

* محل قرارگیری مرکز هندسی مقاطع انواع تیرهای مختلف (نقطه C) و ممان اینرسی محورهای اصلی مرکزی در منبع مقاله و دیگر منابع مربوطه موجود است.

مختصات نقاط D ،B ،A و E نیز برابر است با:

گشتاورهای خمشی

گشتاورهای خمشی حول محورهای y و z به صورت زیر تعیین می‌شوند:

تنش‌های خمشی

اکنون می‌توانیم تنش موجود در نقطه A را محاسبه کنیم:

به همین صورت، تنش موجود در نقطه B نیز به دست می‌آید:

این مقادیر، تنش‌های فشاری و کششی ماکسیمم موجود در تیر را نمایش می‌دهند. تنش‌های نرمال اعمال شده بر نقاط D و E نیز با استفاده از همین روش قابل محاسبه هستند. بنابراین داریم:

شکل زیر، تنش‌های نرمال اعمال شده بر سطح مقطع تیر را نمایش می‌دهد.

محور خنثی

به منظور تعیین مختصات محور خنثی باید مقدار زاویه β را تعیین کنیم:

محور خنثی nn در شکل زیر نمایش داده شده است. توجه داشته باشید که نقاط A و B در دورترین فاصله از این محور قرار دارند. این نکته، ماکسیمم بودن تنش‌های σ_A و σ_B را تأیید می‌کند.

در مثالی که برایتان تشریح کردیم، زاویه β بین محور z و محور خنثی بسیار بیشتر از زاویه θ بود. دلیل این مسئله، بزرگ بودن نسبت I_z/I_y است. با تغییر زاویه θ در محدوده 0 تا 10 درجه، زاویه β بین 0 تا 79.1 تغییر می‌کند. به این ترتیب می‌توان نتیجه‌گیری کرد که هر چه I_z/I_y بزرگ‌تر باشد، حساسیت تیر به جهت‌گیری بار اعمال شده بیشتر خواهد بود. از این‌رو، به منظور جلوگیری از تغییر شکل‌های جانبی زیاد در این نوع تیرها باید از نگهداری‌های جانبی استفاده کرد.

مثال 2

شکل زیر، یک سطح مقطع Z شکل را نمایش می‌دهد که در معرض گشتاور خمشی M=3kN.m تحت زاویه θ=-20° نسبت به محور z قرار دارد. با فرض ارتفاع h=200mm، عرض بال b=90mm و ضخامت t=15mm باشد، تنش‌های نرمال اعمال شده بر نقاط B ،A و C را به دست آورید.

سپس، مختصات محل قرارگیری محور خنثی را نیز تعیین کنید. در انتها، نتایج به دست آمده از رابطه پیچش برای محورهای اصلی مرکزی را نسبت به نتایج حاصل از رابطه کلی پیچش مقایسه کنید.

مشخصات سطح مقطع

مختصات (y,z) نقاط E ،D' ،D ،B ،A و 'E برای محورهای مختصات اصلی دوران یافته y و z

گشتاورهای خمشی

از آنجایی که گشتاور خمشی M=3kN.m است، گشتاورهای تجزیه شده در راستای y و z با استفاده از روابط زیر به دست می‌آیند:

تنش‌های خمشی اعمال شده بر D ،B ،A و E

موقعیت محور خنثی

معرفی روش تعمیم‌یافته

یکی از روش‌های جایگزین برای این مسئله، استفاده از تئوری تعمیم‌یافته خمش برای محورهای غیر اصلی مرکزی است. در این روش، محورهای مذکور با اضلاع سطح مقطع موازی در نظر گرفته می‌شوند. در شکل زیر، محورهای y و z با جان و بالاهای تیر هم‌راستا هستند.

در این روش با تعیین ممان‌های اینرسی محورهای فرضی و حاصل‌ضرب ممان اینرسی آنها (I_z=29.29*106mm⁴ ،I_y=5.667*106mm⁴ و I_yz=9.366*106mm⁴)، مختصات نقطه A (y_A=h/2=100mm و z_A=b-t/2=82.5mm) در شکل بالا به راحتی محاسبه می‌شود. سپس، با به دست آوردن زاویه بین گشتاور اعمال شده M نسبت به محور z (زاویه θ+θ_p1=39.2°)، مؤلفه‌های این گشتاور در راستای محورهای y و z نیز به صورت زیر تعیین می‌شوند:

با جایگذاری مقادیر عددی به دست آمده در رابطه کلی پیچش، مقدار تنش فشاری به دست می‌آید:

این نتیجه با مقدار به دست آمده از روش قبل یکسان است. اگر مختصات نقاط دیگر را در رابطه بالا جایگزین کنیم، تنش‌های نرمال اعمال شده بر نقاط D ،B و E نیز همانند روش قبل به دست می‌آیند.

^^